**Dovada '10 Martini' Leagă Mecanica Cuantică de Structuri Matematice Infinite**
*Versiunea originală a acestei povești a apărut în Quanta Magazine*.
În 1974, cu cinci ani înainte de a-și scrie cartea câștigătoare a premiului Pulitzer, *Gödel, Escher, Bach: O Guirladă Eternă Impletită*, Douglas Hofstadter era student absolvent în fizică la Universitatea din Oregon. Când consilierul său de doctorat a plecat în concediu sabatic la Regensburg, Germania, Hofstadter l-a însoțit, sperând să-și practice germana. Cei doi s-au alăturat unui grup de fizicieni teoreticieni străluciți care se chinuiau cu o problemă particulară în teoria cuantică. Ei doreau să determine nivelurile de energie ale unui electron într-o rețea cristalină plasată lângă un magnet.
Hofstadter era cel ciudat, incapabil să urmărească linia de gândire a celorlalți. Retrospectiv, este bucuros. "O parte din norocul meu a fost că nu am putut ține pasul cu ei", a spus el. "Ei demonstrau teoreme, dar nu aveau nimic de-a face cu esența situației."
În schimb, Hofstadter a decis să testeze o abordare mai pragmatică. În loc să demonstreze teoreme, avea să calculeze niște numere folosind un calculator de birou HP 9820A - o mașină asemănătoare unui computer care cântărea aproape 20 de kilograme și putea fi programată să efectueze calcule complexe. Hofstadter avea nevoie de el pentru a rezolva o formulare particulară a ecuației Schrödinger, care se află la baza mecanicii cuantice. Atunci când primește anumite informații despre un electron și mediul său ca intrări, ecuația Schrödinger descrie modul în care se va comporta electronul. În special, soluțiile sale vă spun cantitatea de energie pe care o poate avea electronul.
În cazul care îl interesa pe Hofstadter, ecuația Schrödinger include o variabilă numită alpha, produsul dintre intensitatea câmpului magnetic și aria unui pătrat din grilă. Alpha captează informații despre forțele care acționează asupra electronului.
Echipa de matematicieni din Germania știa că atunci când alpha era rațional - adică, fie un număr întreg, fie o fracție - rezolvarea ecuației Schrödinger era anevoioasă, dar posibilă (atâta timp cât aveai un calculator suficient de mare). Dar când alpha era irațional, ceea ce înseamnă că nu putea fi scris ca o fracție, nu aveau nicio idee cum să o rezolve.
În loc să se lupte cu cazul irațional ca și colegii săi, Hofstadter a început cu ceea ce știa. El și-a programat calculatorul să ia o valoare rațională a lui alpha ca intrare și să printeze ieșirea pe o rolă de hârtie. Rezultatul reprezenta nivelurile de energie permise și interzise ale electronului. În fiecare seară, Hofstadter își lăsa calculatorul să bâzâie. A doua zi dimineața, se întorcea la un sul de hârtie care se desfășura din mașină, listând locațiile energiilor permise pentru fiecare valoare rațională a lui alpha pe care o setase ca intrare.
El a lipit câteva bucăți de hârtie milimetrică și, folosind un stilou cu pâslă, a început să reprezinte grafic cu meticulozitate aceste valori energetice. Acea imagine avea să ajungă să fie cunoscută sub numele de fluturele Hofstadter, datorită asemănării spațiului negativ al graficului cu aripile modelate ale insectei.
Colegii lui Hofstadter nu au putut înțelege rostul abordării sale laborioase. Ei au glumit că încearcă să toarcă paie în aur și au început să-i spună calculatorului său "Rumpelstilzchen". Chiar și consilierul său a respins efortul ca "numerologie" și a amenințat că îi va retrage finanțarea.
"Implica faptul că eram superstițios și spuneam prostii", a spus Hofstadter. "Găsind sens și modele în numere atunci când nu există."
Dar fluturele care a început să iasă la iveală pe hârtia sa grafică l-a intrigat. Hofstadter a observat că atunci când introducea o fracție, energiile permise erau sparte de întinderi lungi de valori interzise. Pe măsură ce fracția devenea mai complicată, cu mai multe cifre în numitor, pauzele dintre energiile posibile deveneau mai numeroase. Valorile energetice au început să formeze un model vizual izbitor - un fractal, ceea ce înseamnă că părțile mai mici ale acestuia arătau la fel ca întregul. Intuiția sa i-a spus că reflectă un adevăr matematic profund. "Mi-a fost foarte clar că am pus mâna pe un tigru", a spus el.
El a recunoscut tigrul. Era setul Cantor.
Setul este numit după matematicianul Georg Cantor, care l-a popularizat în 1883 urmând o regulă simplă: Ia un segment de linie, împarte-l în trei secțiuni egale, apoi șterge treimea de mijloc. Aceasta vă lasă cu două segmente separate de un gol. Acum șterge treimea de mijloc a fiecăruia dintre acestea, și așa mai departe. Dacă efectuați această procedură de infinit de multe ori, obțineți un set infinit de puncte, împrăștiate ca praful de-a lungul liniei numerelor.
Hofstadter nu ar introduce niciodată o valoare irațională a lui alpha. Numerele iraționale nu pot fi exprimate ca o fracție - ar necesita infinit de multe cifre în numărător sau numitor, ceva ce era imposibil de programat calculatorul să gestioneze. Dar el a observat că, pe măsură ce valorile raționale ale lui alpha se apropiau din ce în ce mai mult de un număr irațional, setul de valori energetice permise - benzile de cerneală din fiecare rând al imaginii sale fluturelui - arătau din ce în ce mai mult ca un set Cantor. Și astfel, el a presupus că, atunci când alpha era irațional, energiile posibile ar forma un set Cantor real.
Câțiva ani mai târziu, doi matematicieni proeminenți au ajuns la aceeași concluzie dintr-o direcție foarte diferită. Barry Simon și Mark Kac studiaseră ceea ce numeau funcții aproape-periodice. Ieșirile unei funcții periodice, cum ar fi o undă sinusoidală, se repetă din nou și din nou. Dar o funcție aproape-periodică trasează o cale care se apropie foarte mult de repetare, dar nu o face niciodată.
În 1981, Kac și Simon s-au întâlnit la prânz și au început să discute despre versiunea ecuației Schrödinger pe care Hofstadter și colegii săi încercau să o rezolve. Când alpha era o valoare irațională, ecuația se transforma într-o funcție aproape-periodică. Era exact genul de fenomen pe care îl studiau. Și pe baza a ceea ce știau despre funcțiile aproape-periodice, Hofstadter avea dreptate: Nivelurile de energie permise ar trebui să formeze un set Cantor când alpha este irațional. Dar Simon și Kac nu au putut nici ei să o demonstreze. Kac a spus că ar cumpăra 10 martini pentru oricine ar putea. Simon a început să facă publică oferta lui Kac, iar problema a devenit cunoscută sub numele de conjectura celor 10 martini.
De-a lungul anilor, matematicienii au cioplit-o, demonstrând conjectura pentru anumite valori iraționale ale lui alpha (dar nu toate). Simon a anunțat unul dintre aceste rezultate intermediare în 1982. Kac i-a oferit trei martini. Când Kac a murit în 1984, problema a rămas deschisă. O demonstrație care să valoreze toți cei 10 martini nu avea să apară încă 20 de ani.
**Doar Un Pic Murdar**
În 2003, Svetlana Jitomirskaya, care petrecuse ani de zile studiind funcția aproape-periodică încorporată în ecuația Schrödinger, tocmai renunțase la obiectivul ei de o viață de a demonstra conjectura celor 10 martini. Cu un an mai devreme, un concurent pe nume Joaquim Puig o demonstrase pentru toate clasele de valori iraționale alpha, cu excepția câtorva. Mai mult, folosise tehnici pe care ea le publicase anterior pentru a face acest lucru.
"Mă mustram singură", a spus ea. "Toată munca grea era în demonstrația mea, iar apoi iată că vine el cu acest argument frumos."
Așa că a fost surprinsă când un matematician de 24 de ani pe nume Artur Avila a vizitat-o și i-a sugerat să lucreze la valorile alpha rămase. "I-am spus că va fi foarte dificil, va consuma foarte mult timp și nimănui nu-i va păsa", a spus ea.
Oamenilor le-a păsat. Demonstrația lor, pe care au postat-o online în 2005, a fost în cele din urmă publicată în *Annals of Mathematics*, cea mai prestigioasă revistă din domeniu. Avila a câștigat ulterior o medalie Fields în parte pentru munca sa asupra problemei. Au decis să onoreze ei înșiși contractul celor 10 martini. "Am avut o mulțime de băuturi festive, inclusiv martini", a spus Jitomirskaya.
Dar, într-un fel, demonstrația a fost puțin nesatisfăcătoare. Jitomirskaya și Avila au folosit o metodă care se aplica doar anumitor valori iraționale ale lui alpha. Combinând-o cu o demonstrație intermediară care a venit înainte, puteau spune că problema a fost rezolvată. Dar această demonstrație combinată nu era elegantă. Era o quiltă patchwork, fiecare pătrat cusut din argumente distincte. Mai mult, demonstrațiile au rezolvat conjectura doar așa cum a fost formulată inițial, ceea ce implica asumarea unor presupuneri simplificatoare despre mediul electronului. Situațiile mai realiste sunt mai complicate: Atomii dintr-un solid sunt aranjați în modele mai complicate, iar câmpurile magnetice nu sunt chiar constante.
"Ați verificat-o pentru acest model, dar ce are asta de-a face cu realitatea?", a spus Simon Becker, un matematician de la Institutul Federal Elvețian de Tehnologie din Zurich. Aceste situații mai realiste vă cer să modificați partea ecuației Schrödinger în care apare alpha. Iar când faceți acest lucru, demonstrația celor 10 martini nu mai funcționează. "Acest lucru a fost întotdeauna deranjant pentru mine", a spus Jitomirskaya.
Defecțiunea demonstrației în aceste contexte mai largi a implicat, de asemenea, că modelele fractale frumoase care apăruseră - seturile Cantor, fluturele Hofstadter - nu erau decât o curiozitate matematică, ceva care ar dispărea odată ce ecuația ar fi făcută mai realistă.
Avila și Jitomirskaya au trecut la alte probleme. Chiar și Hofstadter avea îndoieli. Dacă un experiment ar vedea vreodată fluturele său, scrisese el în *Gödel, Escher, Bach*, "Aș fi cea mai surprinsă persoană din lume."
Dar în 2013, un grup de fizicieni de la Universitatea Columbia i-a surprins fluturele într-un laborator. Ei au plasat două straturi subțiri de grafen într-un câmp magnetic, apoi au măsurat nivelurile de energie ale electronilor grafenului. Fractalul cuantic a apărut în toată gloria sa.
"Dintr-o dată, a trecut de la un produs al imaginației matematicianului la ceva practic", a spus Jitomirskaya. "A devenit foarte neliniștitor." Voia să-l explice cu matematica. Și un nou colaborator avea o idee despre cum să facă asta.
**O Altă Rundă, Cu o Răsucire**
În 2019, Lingrui Ge s-a alăturat grupului lui Jitomirskaya. El fusese inspirat de munca pe care ea și Avila o făcuseră asupra problemei celor 10 martini, precum și de o direcție de cercetare pe care Avila încercase să o urmeze de atunci. Avila se săturase de abordările fragmentare pe care matematicienii le foloseau pentru a înțelege funcțiile aproape-periodice. În schimb, a început să dezvolte ceea ce el a numit o "teorie globală" - o modalitate de a descoperi o structură de nivel superior în tot felul de funcții aproape-periodice, pe care apoi o putea folosi pentru a rezolva clase întregi de funcții dintr-o singură lovitură.
Pentru a face acest lucru, el a asociat un obiect geometric cu o anumită funcție aproape-periodică și i-a studiat proprietățile. Și-a dat seama că unele dintre acele proprietăți geometrice l-ar putea ajuta să rezolve funcția originală. Dar funcționa doar pentru anumite tipuri de funcții. Nu putea gestiona tipurile de calcule pe care le cerea problema celor 10 martini. Nu era clar că ar putea vreodată.
Asta pentru că, pentru a demonstra conjectura celor 10 martini, matematicienii trebuiau mai întâi să transforme ecuația Schrödinger într-o ecuație înrudită numită dualul său, apoi să rezolve acea nouă ecuație. Teoria lui Avila nu putea spune nimic despre structura de nivel superior a dualului. Sau cel puțin așa credea el.
Dar Ge era intrigat de obiectele geometrice pe care le descrisese Avila. Bănuia că alte proprietăți ale acelor obiecte ascundeau și mai multe informații - informații care ar putea ilumina aspecte ale ecuației duale. "Am putut vedea că era o teorie foarte frumoasă și importantă", a spus Ge.
El și Jitomirskaya - împreună cu Jiangong You și Qi Zhou de la Universitatea Nankai din China - au descoperit o nouă modalitate de a interpreta obiectul geometric al lui Avila și de a-l aplica dualului. Acest lucru a făcut teoria mult mai puternică. De asemenea, le-a permis lui Ge, Jitomirskaya și You să scrie o singură demonstrație care a rezolvat versiuni ale problemei celor 10 martini în multe setări diferite. Nu a fost nevoie de quiltă patchwork.
Rezultatul cimentează fluturele Hofstadter ca un fenomen din viața reală. Lumea abstractă a teoriei numerelor deține putere în lumea fizicii. Matematicienii au folosit de atunci versiunea lor a teoriei globale a lui Avila pentru a rezolva alte două probleme cheie din domeniu. Ei prezic că acesta este doar începutul a ceea ce pot face cu metoda pe care au descoperit-o.
"Am găsit acest mister ascuns în spatele teoriei globale", a spus Ge. "A fost ca un far pe o mare întunecată care ne-a arătat direcția corectă."
Povestea originală a fost retipărită cu permisiunea *Quanta Magazine*, o publicație independentă din punct de vedere editorial a Fundației Simons, a cărei misiune este de a îmbunătăți înțelegerea publică a științei prin acoperirea evoluțiilor cercetării și a tendințelor în matematică și științele fizice și ale vieții.